看到“满同态”还可以被叫做“映上同态”，并且后面的习题确实这么问了的时候，我的第一反应就是：你知道茴字的四种写法吗？

以及，“映上同态”这个词听起来莫名很日式（

群论

群论还没过半我就被名词绕进去了，写作业难点不在题，而在于看完题干疯狂翻“某些定义并不复杂但不知道叫什么的名词”（现实世界没有 Ctrl+F 真麻烦啊），所以开了个坑。

平时给自己检索用，然后考前复看一下？

群的定义

$GL_n(K)$ 被称为域 $K$ 上的 $n$ 阶一般线性群。元素为 $K$ 上的 $n\times n$ 非异矩阵全体，运算为矩阵乘法。
- $SL_n(K)$ 称为域 $K$ 上的 $n$ 阶特殊线性群。相对 $GL_n(K)$ 来说，$SL_n(K)$ 对其元素多一个约束，即行列式值为 $1$。
$Hamilton$ 四元数群：$H=\lbrace \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \rbrace$。

子群

由 $S$ 生成的子群 $S $ ：$S$ 是群 $G$ 的子集，$G$ 中所有包含 $S$ 的子集的交称为 $\langle S \rangle$ ，其元素称为 $\langle S \rangle$ 的生成元。
- 如果 $S$ 是一个有限集，那么 $\langle S \rangle$ 称为有限生成的子群；
- 如果 $G$ 可以被一个有限集生成，那么 $G$ 被称为有限生成的群；
- 循环群。

傍集，正规群

右傍集也叫做右伴集。对于群 $G$ 及其子群 $H$，右傍集的个数称为子群 $H$ 在 $G$ 中的指数，记为 $[G:H]$。
单群：群 $G$ 只有 $G,\lbrace e\rbrace$ （此二者称为平凡正规子群）作为正规子群，则称 $G$ 为单群。
正规化子：对于群 $G$ 及其子群 $H$，取 $N(H)=\lbrace g\in G | gH=Hg \rbrace$ 为 $H$ 在 $G$ 中的正规化子，$H$ 是它的正规子群。
换位子子群，换位子元：称 $[a,b]=a^{-1} b^{-1} ab$ 为 $a$ 和 $b$ 的换位子元，$G$ 上所有换位子元生成的子群称为 $G$ 的换位子子群，也叫做导群，记为 $[G,G]$。它是 $G$ 的正规子群。
极大正规子群是非平凡的阶数最大的正规子群。
注：虽然右傍集的等价关系耳熟能详，但是左傍集 $aH=bH$ 等价于 $a^{-1}b \in H$。

同态

对于 $G_1\rightarrow G_2$ 上的同态 $f$，单映射称为单同态，满映射称为满同态或映上同态。双射称为同构。
- 如果 $G_1=G_2$，$f$ 称为自同态；如果 $f$ 同时还为同构，称为自同构。$G$ 上自同构组成的群为 $Aut(G)$。
- 平凡同态，就是把所有的 $G_1$ 元素映射到 $G_2$ 的幺元。（开始摆烂解释
- $G\rightarrow G$ 上的恒等自同构 $Id_G$。
- 内自同构：$a$ 是群 $G$ 上的一个元素，$G\rightarrow G$上的映射 $\phi_a:\phi_a(x)=axa^{-1}$ 称为内自同构。这样的同构组成的群为 $Inn(G)$。
- $H$ 是群 $G$ 的正规子群，$G$ 到商集 $G / H$ 上的自然映射称为自然同态。
对于 $G_1\rightarrow G_2$ 上的同态 $f$，$Im f$ 称为 $G_1$ 在 $f$ 下的同态像。
此处还有同态基本定理，对应定理，第一、二同构定理。~~这里空间太小了写不下~~

循环群

$U_n$ 由小于 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数组成，$G$ 中元素的运算遵从 $mk\equiv s(mod\; n)$。
- 这个定义可以用来证明欧拉公式，以及有结论 $Aut(Z_n)\cong U_n$。
插播一个吐槽：本节习题 $6$ 的“两个”是在修饰“无限循环群”，而不是修饰“映上同态”（悲

置换群

集合（注意不必为群） $S$ 上的变换群 $A(S)$：$S$ 上所有一一对应组成 $A(S)$。
- 集合 $S$ 上的置换群：当 $S$ 是有限集时，$A(S)$ 的任一子群为 $S$ 上的置换群。
- $Cayley$ 定理叙述了任一群 $G$ 必同构于某一集合（证明中给出的正是 $G$）上的变换群。
  
  （碎碎念，总感觉 $Cayley$ 定理这个名字好像数竞的时候也见过，但是完全忘记是什么了。不知道是不是特定群下的简化情况然后拿给高中生玩了，或者单纯是重名？）
- 左平移：对于 $g \in G$，定义 $G \rightarrow G$ 上的映射 $\tau _g (x) = gx,x\in G$ 为由 $g$ 决定的 $G$ 的左平移。
- 类似地可以定义右平移。
任一置换可以表示为若干个对换的乘积，对换的个数决定了置换是奇置换还是偶置换。
- 特殊的置换 $k-$循环的奇偶性与 $k+1$ 相同。
  
  （这是因为 $(i_1,i_2,...i_k) = (1, i_1)(1, i_2)...(1,i_k)(1,i_1)$.
- 换一种观点，每一个置换群对应一个置换矩阵，其奇偶性和该矩阵的行列式的正负性统一。
$n$ 次对称群 $S_n$：阶为 $n$ 的集合 $X$ 上的所有置换构成群 $S(X)$，当我们把 $X$ 的所有元素抽象为带有下标的 $x_1,...,x_n$ 来研究置换时，就将 $S(X)$ 记为 $S_n$。说人话的话，就是在集合 $\lbrace 1,2,...,n \rbrace$ 上的所有置换构成的群，称为 $n$ 次对称群 $S_n$.
- $S_n$ 上的全体偶置换构成的群 $A_n$ 称为 $n$ 次交换群，其阶数为 $S_n$ 的一半，即 $\frac{1}{2} n!$.
- 一个特例：$A_4$ 上的特殊正规子群 $K = \lbrace (1),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3) \rbrace$ 称为 $Klein$ 四元群。$Klein$ 四元群还有正规子群 $H=\lbrace (1),(1,2)(3,4)\rbrace$，但 $H$ 并不是 $A_4$ 的正规子群，呼应了前面章节提过的正规子群不具有传递性。同时，$A_4$ 上并无 $6$ 阶正规子群（见习题）。
真的搞清楚什么是置换群，什么是变换群，什么是对称群了吗？
- $S$ 上的变换群记为 $A(S)$，表示所有 $S$ 上的一一对应（$S$ 未必是群，不能称自同构）。对称群的元素是 $X$ 上的所有置换，记为 $S(X)$ 也记作 $S_n$。置换群是对称群的子群。
  
  注：此处按照 hx 给出的讲义定义，目的是方便作业和考试。读者请在老师的说法或至少一本靠谱的教材（起码不是复旦绿皮）中得到定义。
- hx 课上的讲法是为了不引起混淆，把置换群和对称群视作同一个东西。但是这让我更混淆了（
- 书上的区别在于把置换群当做变换群的子群了。本质上我觉得变换群和对称群是同一个东西，至少可以同构，无非一个更抽象。所以也问题不大。

群作用

群对于集合的作用体现在元素和元素的层面，例如集合的置换群作用在该集合上的过程。
定义好 $G\times S \to S$ 的左作用后，我们可以称 $G$ 在 $S$ 上定义了一个左作用，集合 $S$ 称为一个 $G-$集合。
共轭作用：定义 $G\times G \to G$ 上的作用 $a*x=a^{-1}xa,a\in G,x \in G$ 为 $G$ 对自身的共轭作用，$a^{-1}xa$ 称为 $x$ 的共轭元。
对于 $G-$集合 $S$，记 $Stab\\; x =\lbrace g \in G | g*x=x\rbrace,x \in S$ 为 $x$ 在 $G$ 中的稳定化子，也称 $x$ 的迷向子群。（什么迷神x
- 请不要和子群的正规化子 $N(H)$ 搞混了，尽管在某一个例子里我们得到了某群的稳定化子即为正规化子。
- 于是对任意 $x\in S$，有 $|Gx|=[G:Stab \\; x]$ （证明时考虑 $G/Stab \\; x$ 与 $Gx$ 之间的群同构即可）。这得到了每个轨道中的元素个数。
- 反过来，我们用轨道的元素个数统计 $S$ 的大小，有 $|S|=\Sigma_{x\in C} \lbrace G:Stab \\; x\rbrace$ ，$C$ 是各个轨道中的代表元集。
对于有限集 $G$，$C$ 是它的中心，于是 $|G|=|C|+\Sigma [G:C(y_i)]$，其中 $C(y_i)$ 代表 $y_i$ 在群 $G$ 中的中心化子，$y_i$ 跑遍 $G$ 中含不止一个元素的共轭类的全体。（证明：利用 $G$ 在自身上的共轭作用）
- 也不要把中心化子和稳定化子，正规化子搞混了。中心化子针对群的元素给出一些与其交换的元素，稳定化子针对 $G-$群的元素给出一些能构成 $G$ 的子群的元素，而正规化子针对某个群的子群给出一些使其左右傍集相等的元素。（绕口令
有限群的阶为 $p^m$，其中 $p$ 为素数，则称该群为 $p$ 群。任意 $p$ 群的中心含有不止一个元素。（证明：利用上一条结论）
$p^2$ 阶群是 $Abel$ 群。
如果 $S$ 是一个 $G-$集合且 $S$ 在 $G$ 的作用下的轨道只有一个，也即对任意 $x\in S$ 有 $Gx=S$，那么称 $G$ 在 $S$ 上的作用是可迁的，称 $G$ 是一个可迁群。
- 举个例子：$S_n$ 是可迁群。

Sylow 定理

其实这里也没什么好说的，做课后题就知道了（

关于书后那一堆 $k$ 阶群有无单群的分析，引用一段 Math StackExchange 一个问题下的评论：

Most questions of this type (when you first see them) can be solved using one of the following three methods.

Show that, for some prime $p$, $G$ must have a unique Sylow-$p$ subgroup.

Show that if $G$ fails to have any normal Sylow subgroups, you end up accounting for more elements of Sylow subgroups then there are in your group.

Show that, if $G$ has a Sylow-$p$ subgroup, then $|G|$ does not divide $n_p(G)!$. This implies that $G$ is non-simple.

还有一个证了 $100$ 以内阶群只有 $60$ 阶和素数阶可能是单群的问题，蛮有意思的：Click Here

我自己动手试过一次，比较难的就是证明 $90$ 阶群有正规子群，这和书上那个 $108$ 阶的例题思路完全一样。
另一个有用的工具是书上那个证了 $pq$ 阶群最多有两种形态的例题。

群的直积

内直积的三个判定法则，以及习题中（习题9）补充的一个。就，复习的时候记得证明一下。

有限生成 Abel 群

$G$ 是有限生成 $Abel$ 群，可以分解为有限个循环群 $C_i$ 的直和：$G=C_1\oplus C_2\oplus...\oplus C_k$，其中存在某个 $j\leq k$ 使得 $C_1,C_2,...,C_j$ 是有限循环群，$C_{j+1},...,C_k$ 是无限循环群。称无限循环群的个数 $k-j$ 是 $G$ 的秩，称有限循环群的阶 $m_1,m_2,...m_j$ 是 $G$ 的不变因子组。
- 由 $G$ 直和分解的唯一性，知不变因子组和秩都是不变量。
- 给定秩数和不变因子组，也唯一确定了有限生成 $Abel$ 群。
如果有限生成 $Abel$ 群 $G$ 可以分解为有限个无限循环群的直和，称其为有限生成的自由 $Abel$ 群。

Dobby is a free ~~elf~~ abelian group!
称数组 $(e_1,e_2,...,e_k)$ 是自然数 $n$ 的一个分划，如果 $1\leq e_1\leq e_2\leq ...\leq e_k$，且$n=e_1+e_2+...+e_k$。$P(n)$ 表示 $n$ 的分划数。
- 当 $p$ 是一个素数时，阶为 $p^n$ 的 $Abel$ 群同构类集与 $n$ 的分划集之间存在一个一一对应。（Trivial
- $n=p_1^{f_1} p_2^{f_2}... p_k^{f_k}$ 为其素因子分解，互不同构的 $n$ 阶 $Abel$ 群的个数等于 $P(f_1)P(f_2)...P(f_k)$。（考虑每个 Sylow 子群的再分解即可
  
  这样作出的分解与 $G$ 的直和分解并不相同，需要再进行合并。
- 取 $n=p_1^{f_1} p_2^{f_2}... p_k^{f_k}$ 的初等因子组（书上那个方阵），它和 $n$ 阶群的不变因子组之间一一对应。（Trivial
分解的时候先注意一下它是不是个 $Abel$ 群，别 sb 了（

正规群列与可解群

合成群列是保证群列中的商因子 $G_{i+1}/G_i$ 均为单群，也即 $G_i$ 是 $G_{i+1}$ 的极大正规子群的正规群列。不是所有的群都有合成群列，有限群一定有，无限群可能没有，例如整数加法群。
可解群：记群 $G$ 的合成群列为 $\lbrace e\rbrace=G_0\triangleleft G_1\triangleleft ... \triangleleft G_r=G$，其商因子 $G_{i+1}/G_{i}$ 均为 $Abel$ 群时称 $G$ 为可解群，否则称不可解（什么不可解，唱起来了（x
- 素数幂阶群是可解群。
- 有限 $Abel$ 群是可解群。
- 可解群的子群和同态像还是可解群；如果 $G$ 的正规子群 $K$ 满足 $K$ 和 $G/K$ 是可解群，则 $G$ 是可解群。
- $G$ 是可解群等价于其 $n$ 次导群（换位子子群）为 $\lbrace e \rbrace$。
- $G$ 是可解群也等价于其商因子 $G_{i+1}/G_{i}$ 都是素数阶（循环）群。
上中心列：$G$ 是一个群，其中心为 $C$，记为 $C_1$。作 $G/C_1$ 的中心 $C_2/C_1$，于是得到 $C_1\triangleleft C_2 \triangleleft G$ 且 $C_2$ 唯一确定。依次得到 $C_1,C_2,...,C_n$，它们形成一个 $G$ 的正规群列，称为上中心列。
当 $G$ 的 $n$ 次中心 $C_n=G$ 时，称 $G$ 为幂零群。满足此条件的最小的 $n$ 称为 $G$ 的幂指数。
- $G$ 是幂零群还等价于 $G$ 有一个正规群列 $\lbrace e\rbrace=G_0\triangleleft G_1\triangleleft ... \triangleleft G_r=G$，使得 $G_i/G_{i-1} \subseteq C(G/G_{i-1})$。这里要求每个 $G_i \triangleleft G$，即使正规子群不存在传递性。

环论

第六周第二节课，环论。（

环的定义

非空集合 $R$ 上定义了加法和乘法，且满足乘法分配率和结合律，$(R,+)$ 是加法群时称 $R$ 为一个环，加法群的幺元 $0$ 称为零元素。如果 $R$ 上的乘法也有幺元，称其为恒等元，$R$ 称为带恒等元的环。
一些有特殊名称的环：
- 对模 $n$ 下的整数加法群 $Z_n$，定义其上的乘法为模 $n$ 同余的乘法，则扩充为一环，称为模 $n$ 的整数环。
- $Hamilton$ 四元数环：$1,i,j,k$ 的线性组合构成此环，加法为线性加法，乘法与四元数群相同，满足结合律。
- 用现有的环 $R$ 中元素构造出的 $n\times n$ 矩阵全体称为 $R$ 上的 $n$ 阶矩阵环。运算服从普通矩阵。
- 加法群 $M$ 上的自同态全体构成的集合 $EndM$ 称为加法群的自同态环，乘法即为同态的复合。
- 对于现有的环 $R$，在集合 $R$ 上定义一个新的环结构，加法不变，乘法的结果改为 $a*b=ba$，则称新的环为 $R$ 的反环，记为 $R^o$ 或者 $R^{op}$。
- 环 $R$ 上的形式幂级数环 $R[[x]]$（上次见到双层中括号还是求期望）（这个我不是非常确信，等 hx 讲了再写吧，但感觉就是作为两个多项式相乘 / 相加得到的系数？）（Update：的确如此）
环的不同类型：
- 交换环。
- 无零因子的环称为整环。通俗来说，整环上不存在两个不为零但乘积为零的元素。这样的元素称为零因子，按其在等式中的位置称为左零因子和右零因子。
- 对于 $R^*=R / \lbrace 0 \rbrace$，若其中任意元素都是可逆元，则称 $R$ 是一个除环。通俗来说，一个环除去零元素后每个元素都能找到逆元，也即构成一个群，则称为除环。
  
  环元素的逆元按位置称为左逆元和右逆元，有左逆元 / 右逆元不保证存在右逆元 / 左逆元。如果一个元素的左右逆元相等，则称其有唯一的逆元，此元素称为可逆元或单位。
- 交换的除环称为域。也就是说，一个域去掉零元素后构成一个 $Abel$ 群。
  
  有理数环，实数环，复数环都是域。四元数环是除环，但不是域。（每个元素的逆元易求）
  
  域也可以是有限元素构成的。

子环，理想与商环

主要关心一些东西的定义过程，以及它们为什么是合理的。

商环的定义过程：
- 首先，找到一个等价关系来定义商群。$I$ 为环 $R$ 的一个理想，对 $R$ 中的元素 $a,b$，称 $a\sim b$ 当且仅当 $a-b \in I$。（验证其满足等价关系三性质）定义 $R/I$ 是商群。因为 $R$ 和 $I$ 都是加法群，则 $R/I$ 也是加法群，它的元素可以写成加法形式 $\overline{a}=a+I$。
- 对于加法群 $R/I$，在其上定义乘法让它成为一个环。定义 $(a+I)(b+I)=ab+I$（验证乘法良定义），再证明乘法对结合律和分配律都成立，于是 $R/I$ 是一个环，称为 $R$ 关于理想 $I$ 的商环。（有时也称为差环）
比较遗憾的是，习题中商环内容基本没有出现。我对商群掌握的就不大好，所谓破碎的群知识（
环理想的运算：
- 定义加法。环 $R$ 上的理想 $I,J$ 之间的所谓加法定义为 $I+J=\lbrace a+b|a\in I,b\in J\rbrace$，容易验证 $I+J$ 也是 $R$ 的理想，且可证明 $I+J=(I \cup J)$。注意此处是对并集做了生成理想。
  
  若干个理想的加法定义类似。
- 定义乘法。环 $R$ 上的理想 $I,J$ 之间的所谓乘法定义为 $IJ=\lbrace \Sigma a_ib_i | a_i\in I,b_i \in J\rbrace$，容易验证 $IJ$ 也是 $R$ 的理想。且 $I+J=R$ 时，有 $IJ=I\cap J$。（习题 $15$）
- 于是我们可以证明，环理想的乘法满足分配律和结合律（习题 $4,5$）。因此环的理想构成的集合满足一切除了加法逆元外的环性质。（未经确认的个人观点，我觉得环理想不能定义减法吧）
理想的一些定理：
- 带恒等元的交换环 $R$ 是域等价于 $R$ 只有平凡理想。
- 如果一个非交换环只有平凡理想而又不是除环，则称之为单环。
  
  设 $R$ 是除环，则 $M_n(R)$ 是单环。（证明略复杂，见书）
- 一个技巧：某个环只有平凡理想的时候，可以手搓出来一些理想（比如某个元素生成的主理想），利用它和环相等来推性质；对应地，如果要证明某个环只有平凡理想，可以证明任意搓出来的非零理想中有恒等元。上面两个定理分别应用了这两条技巧，习题中也有用到的。
- 同时有非平凡的左理想和右理想不代表有非平凡理想。比如说，单环 $M_n(R)$ 有非平凡的左右理想。

环同态

和群同态基本一样，略（

整环，分式域

$R$ 是一个整环， $a$ 是其中的非零元，如果存在某个最小的正整数 $m$ 满足 $ma=0$，则称其为 $a$ 的周期，$a$ 是周期元。
- 如果 $R$ 上至少有一个周期元，则存在素数 $p$，使得对 $R$ 的一切非零元 $r$ 都有 $pr=0$，称 $p$ 为 $R$ 的特征。
- 如果 $R$ 上没有周期元，称其特征为 $0$。
特征一般指的是整环的特征，如果不是整环的话可能有不同周期的元素。
- 特征为 $p$ 的任意域有一个最小子域，它同构于 $Z_p$。称这个最小子域为素域。
- 特征为 $0$ 的任意域上也有素域的概念，记为 $F_0=(1)$，它和有理数域同构。
一个含有恒等元的交换整环称为整区。（叠 buff：交换，有恒等元，没有零因子，相比域只差了逆元这一项）在整区上可以用等价关系定义分式域，过程如下。（这就回到了数分（1）的第一节课）
- 记 $R\times R^*$ 上的等价关系为 $(a,b)\sim (c,d)$ 当且仅当 $ad=bc$，记 $(a,b)$ 的等价类为 $\frac{a}{b}$，$F$ 为所有等价类的集合，于是 $F$ 就是由整区 $R$ 定义出来的分式域。
- 再在 $F$ 上定义加法和乘法，分别验证它们是良好定义的。
- 找出 $F$ 上的零元素 $\frac{0}{a}$ 和恒等元 $\frac{a}{a}$。再验证 $F$ 是一个环，满足每个元素有逆元、没有零因子、交换，于是 $F$ 是一个域，称其为分式域。
还可以在整区 $R$ 及其定义出的分式域 $F$ 上定义同态 $f(r)=\frac{r}{1}$，于是 $f$ 是一个单同态，也称为标准嵌入。在 $F$ 上定义的单同态都称为嵌入。
定义得到标准嵌入后，我们还可以继续定义整区 $R$，$R$ 定义出的分式域 $F$ 和另一个域 $F'$之间的映射关系。由此证明第一点中提到的特征为 $0$ 的域的素域与有理数域同构。

唯一分解环

以下讨论默认在整区中进行。

真因子：若 $b$ 可以整除 $a$，但 $a$ 不整除 $b$，则称 $b$ 是 $a$ 的真因子。
如果 $a|b$ 且 $b|a$ 则 $a,b$ 之间相差一个单位，记作 $a\sim b$，称为 $a$ 和 $b$ 相伴。
不可约元：整区中的元素 $a$ 如果不是单位且不能分解成两个真因子的乘积，则称为不可约元（类比素数）。
Gauss 整区，唯一分解环（Unique Factorization Domian）：$R$ 中任意一个非零且不是单位的元素都可以分解为有限个不可约元的乘积，且这种分解在相伴条件下唯一。则称 $R$ 是唯一分解环。
- 整区 $R$ 是唯一分解环等价于 $R$ 适合因子链条件和素性条件。
- 整区 $R$ 是唯一分解环等价于 $R$ 适合因子链条件和最大公因子条件。
素元：若 $p$ 不是 $R$ 的一个单位，对任意 $ab$，从 $p|ab$ 可以推出 $p|a$ 或 $p|b$，则 $p$ 称为素元。
因子链条件：$R$ 中不存在以下无限序列：$a_1,a_2,...,a_i,a_{i+1},...$ 使得 $a_{i+1}$ 是 $a_i$ 的真因子，则称 $R$ 适合因子链条件。
素性条件：若 $R$ 的任意不可约元都是素元，则称 $R$ 适合素性条件。
最大公因子条件：$R$ 上任意两个元素都有最大公因子。

PID 与欧氏整区

以下全部在整区中进行讨论。

何宝好像分不清欧式和欧氏（？），差别很大的啊！（脑补一个欧式装潢的整区

从另一个角度看整除问题，如果有 $b|a$ 说明 $b$ 在 $a$ 生成的主理想中，从而有 $(b)\subseteq (a)$；如果有 $b|a$ 且 $a|b$，则有 $(a)=(b)$。因此，因子链条件也可以写作：环 $R$ 中没有无限真升的主理想链 $(a_1)(a_2)... $。这被称为主理想升链条件。
设 $R$ 是一个整区，若它的每个理想都可以由一个元素生成，则称 $R$ 为主理想整区，记为 PID（Principe Ideal Domain）。
- 任一 PID 都是 UFD。
欧氏整区：设 $R$ 是一个整区且存在从 $R^*$ 到 $N$ 的映射 $\delta$，满足：
- 若 $a,b\in R$ 且 $b\neq 0$，则存在 $q,r \in R$ 满足 $a=bq+r$，且或者 $r=0$，或者 $\delta(r)< \delta(b)$。
- 对任意非零元 $a$,$b$，有 $\delta(a)\leq \delta(ab)$。
则称 $R$ 是一个欧氏整区。映射 $\delta$ 称为欧氏赋值。
欧氏整区都是 PID。

域上的一元多项式环

多项式的 degree 非常好用。

$F$ 是一个域，$F[x]$ 是欧式整区，其上的欧氏赋值即为它的最高次项次数。
- 于是它也是 PID 和 UFD。
$F[x]$ 中多项式 $f(x)$ 不可约等价于 $F[x]/(f(x))$ 是一个域，也即 $(f(x))$ 是 $F[x]$ 的极大理想。
（余数定理）若 $f(x)\in F[x]$，$a\in F$，则存在唯一的 $q(x)$ 使得 $f(x)=(x-a)q(x)+f(a)$。
- 由此可知，$(x-a)|f(x)$ 等价于 $a$ 是 $f(x)$ 的根。
- $F[x]$ 上的 $n$ 次多项式在 $F$ 上有至多 $n$ 个不同的根。（归纳）
任何一个域的乘法群的有限子群是循环群。因此，有限域的乘法子群都是循环群。

交换环上的多项式环

说实话，总是代入 $Z[x]$ 是我学习多项式环的最大困难...

视 $R[x_1,x_2,...,x_n] = R[x_1,x_2,...,x_{n-1}] [x_n]$ ，从而多项式环可以归纳地讨论。
设 $R$ 是带恒等元的交换环，$r$ 是一个正整数，则 $R[x_1,x_2,...,x_n]$ 满足以下的泛性：$S$ 是任意一个带恒等元的交换环，$\psi$ 是 $R$ 到 $S$ 上的环同态，$u_1,u_2,...,u_n$ 是 $S$ 上 $r$ 个元素，则必存在从 $R[x_1,x_2,...,x_r]$ 到 $S$ 的唯一的环同态 $\phi$，使得对一切 $a\in R$ 有 $\phi(a)=\psi(a)$。且 $\phi(x_i)=\psi(x_i)$，$i=1,2,...,r$.
- 从而有 $R$ 上的任意两个 $r$ 元多项式环同构。
- $R[x_1,x_2,...,x_n]$ 中两个多项式相等的充要条件是每个单项式前的系数相等。（induction）
代数无关元：$R[x_1,x_2,...,x_n] \rightarrow R[u_1,u_2,...,u_n]$ 上的泛性映射是同构时，称 $x_1.x_2,...,x_n$ 是代数无关元，否则称为代数相关元。代数相关 / 无关元的性质类似于线性相关 / 无关。
$F$ 是有无数个元素的域，则对于 $F[x_1,x_2,...,x_n]$ 上的任意一个非零多项式 $f(x_1,x_2,...,x_n)$，必存在一组元素 $a_1,a_2,...,a_n \in F$，使得 $F(a_1,a_2,...,a_n) \neq 0$。（induction）
本原多项式：$R$ 是 UFD，从而 $R$ 上任意多个元素都有最大公因数。对于$R[x_1,x_2,...,x_n]$ 上的元素 $f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$，如果 $(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0)=1$，则称 $f(x)$ 是本原多项式。
$R$ 是一个 UFD，$F$ 是 $R$ 的分式域，如果 $f(x)$ 是 $F[x]$ 中的本原多项式，则 $f(x)=rf_1(x)$，$r\in F$ 且 $f_1(x)$ 是 $R[x]$ 中的本原多项式。此分解除了差一个 $R$ 的单位外是确定的。
- $R$ 是 UFD，若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是 $F[x]$ 中的本原多项式，且它们在 $F[x]$ 中是相伴元，则它们在 $R[x]$ 中也相伴。
本原多项式的积还是本原多项式。
如果 $R$ 是 UFD，则 $R[x]$ 也是 UFD。从而 $R[x_1,x_2,...,x_n]$ 也是 UFD。

素理想

本节在含恒等元的交换环上讨论。

设 $P$ 是环 $R$ 的理想且 $P\neq R$，若对 $R$ 中元素 $a,b$，从 $ab\in P$ 可以推出 $a\in P$ 或者 $b\in P$，则称 $P$ 是环 $R$ 的素理想。

这等价于 $P/R$ 是整区。因此，环的极大理想一定是素理想。
设 $R$ 是含恒等元的交换环，$I$ 是它的一个理想且 $I\neq R$，则 $I$ 一定含在 $R$ 的某个极大理想中。

任何一个含恒等元的环都有极大理想。
$R$ 的任意不可逆元素都含在某个极大理想中。如果 $R$ 只有这样的唯一一个极大理想，则称为局部环。
交换环 $R$ 所有素理想的交称为小根，等于 $R$ 的所有幂零元和零元素组成的理想，称为诣零根。

所有极大理想的交称为大根，等于 $R$ 的全部满足 $1-ar$ 可逆对任意 $r$ 成立的 $a$ 的集合。

域与 Galois 理论

蛞蝓好难！

域的扩张

假设 $E$ 是 $F$ 的扩域，$S$ 是 $E$ 的子集，记 $F(S)$ 是 $E$ 上由 $F$ 和 $S$ 生成的子域，表示所有包含 $F$ 和 $S$ 的子域之交。显然，$F(S)(T)=F(S\cup T)$。

如果 $S$ 是一个单点，则 $F(u)$ 称为 $F$ 的单扩张，元素 $u$ 称为本原元。单扩张的代数扩张和超越扩张比较容易研究，这是因为 $F(u)=F[u]$。

若为代数扩张，$F(u)$ 的元素可以写作小于 $u$ 的极小多项式次数的多项式，如果是超越扩张则 $F(u)= | f(x),g(x) F[x],g $。
另外一个角度的域扩张：$E$ 是 $F$ 的扩域，$E$ 可以看做 $F$ 上的线性空间（不一定有限维度）。如果 $[E:F]<\infty$ 则成为有限扩张，否则为无限扩张。
$E$ 是 $F$ 的扩域，$K$ 是 $E$ 的扩域，此时 $[K:F]$ 有限的充要条件是 $[K:E],[E:F]$ 都有限，有 $[K:F]=[K:E][E:F]$。

于是，当 $[K:F]$ 是素数时，二者之间没有其他子域。
有限扩张一定是代数扩张，但代数扩张不一定有限。
(Steinitz Theorem)：$E$ 是 $F$ 的扩域且 $[E:F]$ 有限，则 $E=F[u]$ 的充要条件是 $E$ 和 $F$ 之间只有有限个中间域。

代数扩域

袋鼠蛞蝓x

$E$ 是 $F$ 的扩域，$K$ 是 $E$ 上 $F$ 的代数元全体构成的集合，它也是一个 $E$ 的子域。

两个代数数的和、差、积、商都是代数数。
虽然代数扩张不一定是有限扩张，我们可以给出有限扩张的一些性质：

$E$ 是 $F$ 的扩域，则 $[E:F]<\infty$ 等价于存在 $E$ 中的有限个代数元 $u_1,...,u_n$ 使得 $E=F(u_1,u_2,...,u_n)$。
代数扩张有传递性。如果 $E$ 是 $F$ 的代数扩域，$K$ 是 $E$ 的代数扩域，则 $K$ 是 $F$ 的代数扩域。

$E$ 是 $F$ 的扩域，$K$ 是 $E$ 上 $F$ 的代数元全体构成的集合，则任何 $E$ 上 $K$ 的代数元属于 $K$。
$E$ 是 $F$ 的扩域，$K$ 是 $E$ 的子域且是 $F$ 的代数扩域，如果 $K$ 在 $E$ 中的任何代数扩域都和 $K$ 重合（无真代数扩张），那么 $K$ 是 $F$ 在 $E$ 中的代数闭包，$K$ 也称为在 $E$ 中是代数封闭的。

于是，$F$ 在 $E$ 中的代数闭包是全体 $E$ 中 $F$ 上的代数元集合。这是一个相对的概念。
$K$ 是一个域，如果 $K$ 无真代数扩张，则称其为一个代数闭域。这等价于 $K[x]$ 上所有不可约多项式都为一阶。
如果 $K$ 是 $F$ 的代数扩域，且 $K$ 是一个代数闭域，则称 $K$ 是 $F$ 的代数闭包。

一个代数闭域 $K$ 的子域 $F$ 的代数闭包 $E$ 一定也是代数闭域。于是每个域都有一个代数闭域作为其代数扩张，即为其代数闭包。
一个域的代数闭包在同构的意义下是唯一的。也即，如果 $K$ 有两个代数闭包 $E_1,E_2$，则存在同构映射 $\psi:E_1 \to E_2$ 满足 $\psi(a)=a,\forall a \in K$。

分裂域

研究由 $F[x]$ 上的某个已知多项式 $f(x)$ 的根决定的扩域。

对于 $F$ 上的不可约多项式 $f(x)$，它在 $F$ 的扩域 $F[x]/(f(x))$ 上有根。
$f(x)$ 是 $F$ 上的首一多项式，$E$ 是 $F$ 的扩域且适合条件：
- $f(x)$ 在 $E[x]$ 上可以分解为一次因式的乘积，即存在 $r_1,r_2,...,r_n \in E$ 满足 $f(x)=(x-r_1)...(x-r_n)$
- $E=F[r_1,r_2,...,r_n]$
则称 $E$ 是多项式 $f(x)$ 的分裂域，可以把 $E$ 看做 $F$ 添加了 $f(x)$ 的根得到的扩域。
$F[x]$ 任意首一多项式 $f(x)$ 的分裂域存在，以下考虑其是否唯一的问题。事实上，分裂域在同构的意义下是唯一的。
- 设 $\eta : a\to \bar{a}$ 是域 $F\to \bar{F}$ 的同构，$E$ 和 $\bar{E}$ 分别是 $F,\bar{F}$ 的扩域，$u\in E$ 是 $F$ 上代数元且其极小多项式为 $g(x)$，则 $\eta$ 可以扩张为 $F(u)\to \bar{E}$ 上的单同态，这种扩张的数目等于 $\bar{g}(x)$ 在 $\bar{E}$ 上不同根的个数。
- 设 $\eta : a\to \bar{a}$ 是域 $F\to \bar{F}$ 的同构，$f(x)$ 是 $F[x]$ 上的首一多项式，$\bar{f}(x)$ 是 $\bar{F}[x]$ 上相应的多项式（对多项式的每个系数做映射）。$E$ 和 $\bar{E}$ 分别是 $f(x),\bar{f}(x)$ 的分裂域，则 $\eta$ 可以扩张为 $E\to \bar{E}$ 上的同构，这种扩张的数目不超过 $[E:F]$。当 $\bar{f}(x)$ 在 $\bar{E}$ 上无重根时，正好等于 $[E:F]$。
  
  因此，取特殊情况 $F=\bar{F},\eta$ 是恒等映射，则有 $E$ 和 $\bar{E}$ 都同构，也即分裂域在同构的意义下是唯一的。
- $E$ 是 $F$ 上多项式 $f(x)$ 的分裂域，则 $E/F$ 的自同构（保持 $F$ 中元素不动的自同构）数目不超过 $[E:F]$。当 $f(x)$ 在 $E$ 上无重根时，正好等于 $[E:F]$。
说实话不是很懂上面两个东西怎么用的...可能是还没学 Galois 理论的原因，也可以预见学习的时候会很痛苦了。

可分扩域

设 $F$ 上的多项式 $f(x)=f_1(x)^{k_1} f_2(x)^{k_2} ... f_n(x)^{k_n}$，考虑 $f_0(x)=f_1(x)f_2(x) ... f_n(x)$，它和 $f(x)$ 有相同的分裂域 $E$。其中 $f_i(x),f_j(x)$ 互素且都是不可约因子，因此互相之间没有相同的根。

于是 $f_0(x)$ 有重根等价于它的某个因子 $f_i(x)$ 有重根。因此，我们讨论 $f_0(x)$ 的所有因子都没有重根的情形，此时称 $f(x),f_0(x)$ 为可分多项式。此时 $E/F$ 的自同构也有 $[E:F]$ 个。
$E$ 是 $F$ 的扩域，如果一个 $E$ 上元素 $u$ 在 $F$ 上的极小多项式是可分多项式，称 $u$ 是 $F$ 上的可分元。

如果 $E$ 上的每个元都是可分元，则称 $E$ 是 $F$ 的可分扩张 / 可分扩域。
研究域 $F$ 上的多项式何时有重根，分为特征为 $0$ 或 $k$ 的情况讨论。首先，如果 $f(x)$ 是 $F$ 上的非零首一多项式，则 $f(x)$ 在分裂域中无重根等价于 $(f(x),f^\prime (x))=1$。
- 如果 $F$ 的特征为 $0$，则 $F$ 上的不可约多项式都是可分多项式。
- 如果 $F$ 的特征是 $p \neq 0$，则 $F$ 上的不可约多项式可分的充要条件为 $g^\prime (x)=0$，形状为 $g(x)=a_o + a_1 x^p +...+a_k x^{kp}$
于是我们知道，只有特征不为 $0$ 的域上才有不可分多项式。
Frobenius 同态：特征为 $p$ 的域 $F$ 上的映射 $\psi(a)=a^p$ 是 $F$ 上的自同态，也是单同态。记 $F^p =\lbrace a^p | a \in F \rbrace$，它是 $F$ 的子域
特征为 $p$ 的域上的多项式 $x^p-b$ 要么不可约，要么可以表示为 $(x-a)^p$ 的形式。
如果某个域上的所有多项式都是可分多项式，则称其为完全域。

显然，完全域 $F$ 的代数扩域 $E$ 一定是可分扩域，$E$ 中元素 $u$ 在 $F$ 上的极小多项式一定是可分多项式，于是 $u$ 是可分元，$E$ 是 $F$ 的可分扩域。特征为 $0$ 的域都是完全域，比如 $Q,R,C$ 等等。

特征为 $p$ 的域是完全域的等价条件是 $F=F^p$。
有限域一定是完全域。因为其 Frobenius 同态一定是同构。

正规扩域

引理：$f(x)$ 是 $F$ 上的多项式，$E$ 是 $F$ 上关于多项式 $f(x)$ 的分裂域。对于某个 $u\in E$，它的极小多项式为 $g(x)$，则 $g(x)$ 的所有根都在 $E$ 中，也即在 $E$ 中可以分解为一次因式的积。

也就是说，对于某个 $F$ 的分裂域 $E$，$F$ 上的任意不可约多项式 $g(x)$ 要么根全部在 $E$ 中，要么全都不在 $E$ 中。这符合正规扩域的要求。
正规扩域：$E$ 是 $F$ 的代数扩域，$F$ 上的任意不可约多项式 $g(x)$ 要么根全部在 $E$ 中，要么全都不在 $E$ 中，则称 $E$ 是 $F$ 的正规扩域（正规扩张）。
如果 $E$ 是 $F$ 的有限扩张，则 $E$ 是 $F$ 的正规扩张等价于 $E$ 是 $F$ 上某个多项式的分裂域。
域 $F$ 的任意有限扩张一定含在某个正规扩张中。
正规闭包：$E$ 是 $F$ 的代数扩域，若 $K$ 是 $F$ 的正规扩域且包含 $E$，$M$ 是 $F$ 的正规扩域且满足 $F \subseteq E \subseteq M \subseteq K$，则一定有 $M=K$ 时，称 $K$ 是 $E/F$ 的正规闭包。
$E$ 是 $F$ 的有限维正规扩张，$K$ 是 $E$ 与 $F$ 的中间域，$F \subseteq K \subseteq E$，以下结论互相等价：
- $K$ 是 $F$ 的正规扩张
- 如果 $\sigma$ 是 $E/F$ 的自同构，则 $\sigma(K) \subseteq K$
- 如果 $\sigma$ 是 $E/F$ 的自同构，则 $\sigma(K) = K$
$E$ 是 $F$ 上可分多项式 $f(x)$ 的分裂域，则 $E$ 是 $F$ 的可分扩张，也就是说 $E$ 上的每个元素都是 $F$ 的可分元。

Galois 扩域与 Galois 对应

Galois 扩域：对于一个域 $F$ 上的可分多项式 $f(x)$，$F$ 关于 $f(x)$ 的分裂域即为 Galois 扩域。

这是因为 Galois 扩域的意义为 $F$ 上的有限维可分正规扩张，分裂域是有限维扩域，$F$ 关于可分多项式 $f(x)$ 的分裂域一定是一个可分扩张，且是正规扩张。（草，突然发现好像说反了
Galois 群：$E$ 是 $F$ 的扩域，$E/F$ 上的自同构全体构成一个群（运算为映射的合成），称为 $E/F$ 的 Galois 群，记为 $Gal E/F$。

因此 $F$ 的 Galois 扩域为 $E$，使得 $|Gal E/F|=[E:F]$。
不变子域：$E$ 是一个域，$AutE$ 是 $E$ 上的自同构群，$G$ 是 $AutE$ 的一个子群。定义 $InvG=\lbrace a \in E | \eta(a)=a,\forall \eta \in G \rbrace$。可以证明 $InvG$ 满足有恒等元、无零因子、非零可逆和交换的性质，因此它是 $E$ 的一个子域，称为 $E$ 的 $G$ 不变子域。于是我们可以把 $E$ 当做 $InvG$ 的扩域，它们在维数上有以下关系：
- Artin 引理：$G$ 是有限子群时，$|G| \geq [E:InvG]$
$E$ 是 $F$ 的 Galois 扩域，等价于 $F=InvG$，其中 $G$ 是 $AutE$ 的有限子群。也就是说，$G$ 是 $E/F$ 上的自同构全体，可以写作 $Gal(E/InvG)=G,F=Inv (Gal E/F)$。
Galois 理论的基本定理：在定理叙述之前先做定义。
- $E$ 是 $F$ 的扩域，于是 $G=Gal E/F$，作集合 $\Sigma=\lbrace H|H$ 是 $G$ 的子群 $\rbrace$，$\Omega=\lbrace K|K$ 是 $E,F$ 的中间域 $\rbrace$，定义 $\varphi: H \to InvH$，$\psi :K \to GalE/K$，二者是在 $\Sigma,\Omega$ 上方向相反的映射。
- 有一些结论：
  
  $H_1 \subseteq H_2$，则 $Inv H_2 \subseteq Inv H_1$
  
  $K_1 \subseteq K_2$，则 $Gal E/K_1 \subseteq Gal E/K_2$
  
  $H \subseteq Gal(E/Inv H)$
  
  $K\subseteq Inv(Gal E/K)$
- 如果 $E$ 是 $F$ 的 Galois 扩域，则：
  
  $\psi,\varphi$ 是互逆的一一对应，称为 Galois 对应；
  
  $H_1 \subseteq H_2 \iff Inv H_2 \subseteq Inv H_1$；
  
  $| H| = [E:Inv H]$，于是有 $[G:H]=[Inv H:F]$；
  
  $H$ 是 $G$ 的正规子群等价于 $InvH$ 是 $F$ 的正规扩域，此时还有 $Gal(Inv H/F) \cong G/H$。

有限域

有限域也称 Galois 域。特征为 $p$ 的有限域 $F$ 的元素个数为 $p^n$，是素子域 $Z_p$ 的分裂域，对应多项式是 $f(x)=x^{p^n}-x$。这是一个可分多项式，因此 $F$ 是 $Z_p$ 的 Galois 扩域。大小相同的这样的域在同构的意义下唯一。
$E$ 是 $F$ 的扩域，$E,F$ 都是有限域且 $[E:F]=m$，则 $Gal E/F$ 是一个阶为 $m$ 的循环群，生成元是 $E$ 上的自同构 $\eta :a \to a^q$，$q=|F|$。

考虑 $Gal E/Z_p$ 是循环群，$GalE/F$ 是它的子群，而 $m$ 阶子群有且仅有一个即可。
$E$ 是元素个数等于 $p^n$ 的域，且 $m|n$，于是 $E$ 的元素个数为 $p^m$ 的子域有且仅有一个。

分圆域

我的域论真的一塌糊涂，每天都在默念还好我以后接触到的域都是普通数域了（

对于一个特征为 $0$ 的域，研究 $F$ 上多项式 $x^n -1$ 的分裂域 $E$，称之为 $F$ 上的 $n$ 阶分圆域。

显然有 $(x^n -1 , nx^{n-1} )=1$，于是 $x^n -1$ 在其分裂域上有 $n$ 个不同的根，这 $n$ 个根构成的循环群记为 $R$。它作为循环群有生成元，称之为 $1$ 的 $n$ 次本原根，这样的本原根显然有 $\varphi(n)$ 个，与此同时 $R$ 的自同构也有 $\varphi(n)$ 个，构成了循环的自同构群。
如上定义后可以知道 $Gal E/F$ 是一个 Abel 群，它和 $AutR$ 的子群是同构的。
$E$ 是 $F$ 关于元素 $d$ 的 $Galois$ 扩域，如果 $Gal E/F$ 是一个循环群，则称 $E$ 是 $F$ 的循环扩域 / 循环扩张。如果 $Gal E/F$ 是一个 $Abel$ 群，则称 $E$ 是 $F$ 的 $Abel$ 扩张。

由上一条可知分圆域是 $F$ 的 $Abel$ 扩张。
如果 $E=F(d)$，其中 $d \notin F$ 且 $d^n \in F$，$n$ 是满足 $d^n \in F$ 的最小正整数，于是称 $E$ 是 $F$ 关于 $d$ 的 $n$ 次根扩张 / 扩域。
如果 $F$ 含有 $1$ 的 $n$ 次本原根，且 $E$ 是 $F$ 的 $n$ 次根扩张，那么 $E/F$ 是一个循环扩张，$[E:F]=k$ 是 $n$ 的一个因子。

反之，如果 $E$ 是 $F$ 的 $n$ 维循环扩域，那么一定存在某个 $d \in E$，使得 $E=F(d), d^n \in F$。
回到关于 $Q$ 上的 $n$ 阶分圆域的讨论。$R$ 是 $1$ 的 $n$ 次根集合，令 $\varphi _{n} (x) = \Pi (x-z)$，其中 $z$ 跑遍 $R$ 中的本原根。这一多项式一定是 $Q[x]$ 上的多项式，称为 $n$ 阶分圆多项式。

实际上，$x^n -1 = \Pi _{d | n ,d \leq n} \varphi _{d} (x)$，例如 $x^{12} -1 = (x-1)(x+1)(x^2 +x +1)(x^2 +1 )(x^2 -x +1)(x^4 -x^2 +1)$，分别对应了 $1,2,3,4,6,12$ 阶的分圆多项式。

$\varphi _n (x)$ 都是 $Q[x]$ 上的不可约多项式，因此也是 $x^n -1 $ 的本原根的极小多项式。
有理数域上 $n$ 阶分圆域的 $Galois$ 群同构于 $n$ 阶循环群的自同构群，阶为 $\varphi (n)$。

特殊地，有理数域上 $p$ 阶分圆域的 $Galois$ 群是 $p-1$ 阶的。

一元方程式的根式求解

都会了，也没什么能考的题，所以不想写了（摆烂

期中提示

打星号的表示笔者到现在还不能很好地反应过来怎么证明，打井号的表示会证明但记不住（

越复习越绝望，真就是破碎的群知识。尤其 hx 是第一年，不确定性更强了（

引理都会证了吗？

$H,K$ 是群 $G$ 的子群，$HK=\lbrace hk | h\in H,k\in K\rbrace$，于是 $HK=KH \Leftrightarrow HK$ 是 $G$ 的子群。
$H,K$ 是群 $G$ 的两个有限子群，有 $|HK||H\cap K|=|H||K|$。

与此同时，如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则有 $KH/H \cong K/H\cap K$。

推广到环同态结论，如果 $S$ 是 $R$ 的环理想，$I$ 是 $R$ 的子环，则有 $(S+I)/I \cong S/S\cap I$。
$G$ 的两个正规子群 $H,K$ 交集为 $\lbrace e \rbrace$，那么二者之间元素交换，也就是说，对 $\forall h \in H,k\in K$，有 $hk=kh$。

后续这个用来证明了直积的几个性质，非常好用。也很好证明。
$a,b$ 是群 $G$ 中的两个元素，$ab=ba$，若 $o(a)=m,o(b)=n$，则存在 $g\in G$ 满足 $o(g)=[m,n]$。
$G$ 是一个有限群，$H$ 是 $G$ 的子群且 $[G:H]=n$，则 $H$ 含有 $G$ 的一个正规子群 $K$，$[G:K]|n!$。如果 $|G|$ 不能整除 $n!$，那么 $K$ 是 $G$ 的一个非平凡正规子群。（**）
$G$ 是 $p^m$ 阶群。证明：
- $N$ 是 $G$ 的正规子群且 $N\neq \lbrace e \rbrace$，则 $C\cap N\neq \lbrace e \rbrace$，$C$ 是 $G$ 的中心。（**）
- $H$ 是 $G$ 的真子群，则 $H$ 真包含于 $N(H)$。（*）
- $G$ 的子群 $H$ 为 $p^{m-1}$ 阶，则 $H$ 是 $G$ 的正规子群。
$G$ 不含指数为 $2$ 的子群，则一定有指数为 $3$ 的正规子群。
(Cauchy 引理)一个有限 $Abel$ 群 $G$ 满足素数 $p$ 整除 $|G|$，则 $G$ 中有一个元素的周期是 $p$。（*）

更一般地，并不需要 $Abel$ 群这个条件也可以满足。
所有的 $pq$ 阶群（$p,q$ 为素数，$q>p$）都可以写成两种形式之一。

一个是普通的循环群，另一个是类似于二面体群的一个表述：

$\lbrace a^i b^j | i=0,1,...,p-1, j=0,1,...,q-1, aba=b^r\rbrace$，且 $r$ 满足 $r\not \equiv 1(mod \\;q)$，以及 $r^p \equiv 1(mod \\; q)$。

如果 $p=2$ 的话，这就是一个二面体群。

定理都会证 / 记得了吗？

$G$ 是一个有限阶交换群，于是 $G$ 是循环群 $\Leftrightarrow$ $|G|$ 是满足式子 $a^n=e,\forall a \in G$ 的最小正整数。（*）

看到最小就应该知道，先找个最大的但比 $|G|$ 小的，再证明有比他更大的，矛盾。
$n\geq 5$ 时，$A_n$ 是单群。

只要证明所有的三元组都在 $A_n$ 的正规子群里，也就是有一个在正规子群里即可。否则考虑正规子群中不动点最多的元素，可能有两类，分别证明可以更多。

真的很怀疑何宝会考一些定理的证明，不然这 $1.5h$ 时间究竟能做出点啥（挠头
轨道元素数的计数：$|Gx|=[G:Stab \\; x]$。（*）（怎么这个都不会啊（恼

作映射 $Gx\rightarrow G/S$，证明它同构。
带恒等元的交换环是域等价于它只有平凡理想。（#）

也就是说这里平凡理想代替了每个元素可逆的条件，在这个情况下也正是这么推出来的。
特征为 $p$ 的域有最小子域，它同构于 $Z_p$。

特征为 $0$ 的域有最小子域，它同构于有理数域。

作一个恒等元的主理想，它和 $Z$ 同构，$Z$ 的分式域是 $Q$，把它们放到分式域造出来的单同态三角里，推出 $Q$ 在 $F$ 中的像是最小子域。

难题会做了吗？

$G$ 是有限群且有一个 $p-Sylow$ 子群 $P$，令 $N=N(P)$ 是 $P$ 的正规化子群，证明：$G$ 的任意包含 $N$ 的子群等于它的正规化子群。（*）

$H$ 是 $G$ 的包含 $N$ 的子群，对于 $x\in N(H)$，$x^{-1} Px$ 是 $p-Sylow$ 子群且属于 $N$，于是属于 $H$。故存在 $y \in H$ 满足 $y^{-1} x^{-1}Pxy=P$，于是 $xy \in N(P)=N$，有 $N(H)\subseteq H$，相等。
$G$ 是有限群且有一个 $p-Sylow$ 子群 $P$，$H$ 是 $G$ 的子群且 $|H|=p^m$，证明 $H \cap N(P)=H\cap N$。（*）

只要证明左边包含于右边。因为 $(H\cap N(P))P$ 是 $G$ 的子群，$P$ 是 $H$ 的 $p-Sylow$ 子群，则 $(H\cap N(P))P \subseteq P$。于是 $(H\cap N(P))P / P\cong (H\cap N(P)) / (H\cap P)$，于是二者相等。
实数环上的自同构只有恒等变换一个。

这个证明思路其实很像柯西方程，先证有理数环，再夹出实数情况。
$F$ 是一个数域，则在 $m\neq n$ 时，不存在从环 $M_n(F)$ 到 $M_m(F)$ 上的满同态。

如果存在的话，$kerf$ 是 $M_n(F)$ 的理想，只能是 $\lbrace e \rbrace$ 或者 $M_n(F)$ 自身。

概念记对了吗？

可解群，幂零群的东西真记不清楚。
- 可解群的子群和同态像还是可解群；如果 $G$ 的正规子群 $K$ 满足 $K$ 和 $G/K$ 是可解群，则 $G$ 是可解群。
- $G$ 是可解群等价于其 $n$ 次导群（换位子子群）为 $\lbrace e \rbrace$。
- 当 $G$ 的 $n$ 次中心 $C_n=G$ 时，称 $G$ 为幂零群。满足此条件的最小的 $n$ 称为 $G$ 的幂指数。
- $G$ 是幂零群还等价于 $G$ 有一个正规群列 $\lbrace e\rbrace=G_0\triangleleft G_1\triangleleft ... \triangleleft G_r=G$，使得 $G_i/G_{i-1} \subseteq C(G/G_{i-1})$。这里要求每个 $G_i \triangleleft G$，即使正规子群不存在传递性。
单环：不是除环的非交换环只有平凡理想，称为单环。

典型的单环是在除环 $R$ 上构造的矩阵环 $M_n(R)$。
整区：交换的带恒等元的整环，只比域少一个逆元条件。
由分式域造出来的域和域之间的单同态：会画那个图就懂了，一个整区两个域，两个嵌入推一个单同态。

踩坑踩麻了吗？

正规子群不能传递，很多时候觉得灵光一闪做出来了都不靠谱。
批证明题作业的感觉就像有一扇门，正确解法是拉动门把手进去，但有学生拿了把斧头把门劈开进去了，有人从门缝下钻进去，有人拆了通风管道爬进来，还有人挂在三层楼外拍窗。而我就是在门里等人的那个，一脸懵逼看着他们各显神通。——不知出处

而我进不去门，翻开答案知道可以拧门把手之后还是拧反方向了，有的时候答案就写了“把手”两个字，于是我把门把手扳了下来。——驰雨

做证明题的感觉就像面对着一扇玻璃门，有的玻璃看着太过透明以至于过于激动地直接冲了过去然后直接被撞晕；有的题在门前犹豫半天不敢靠近，结果走过去发现是自动门。——Retaliatory Peddlers

赛博猫猫敲键盘

以下内容和本人没有任何关系，是我博客右侧的赛博猫猫随便按出来的东西，如果可以阅读纯属巧合：

求 $100$ 阶 $Abel$ 群的所有同构类，写出它们的不变因子组。

有手就行。
普通的置换计算题，具体数字忘了。

有手就行。
在 $G=R \backslash \lbrace-1\rbrace$ 上自行定义一个运算使其称为群，并证明。

我靠，我考试的时候真的不会，明明都想到 $(-1,-1)$ 映射到 $-1$，还想到了 $(a+1)(b+1)$，结果还是开天窗了。无数数竞的悲伤回忆开始攻击我..

实际上就是定义 $a\times b=ab+a+b$.
作 $Z_m$ 到 $Z_n$ 上的同态，有多少个？单同态有多少个？满同态有多少个？

私以为是这张卷子最麻烦的题目，多分分类，我也不确定做对没有...（UPD：错了一点点细节。

感觉一看就是个结论，但我没见过，临场慌得要死。
证明 $105$ 阶群有一个 $35$ 阶子群。

一个 $5$ 阶正规子群和一个 $7$ 阶群的乘积，或者一个 $7$ 阶正规子群和一个 $5$ 阶群的乘积都是 $35$ 阶子群，所以只要用一下 $Sylow$ 定理就可以了。

临场慌得要死 ++，这个题写了好久，还把 $HK=KH$ 等价于 $HK$ 是 $G$ 的子群那个结论写上去了，完全没用。
证明 $R[x]/(x^2+1)$ 和复数环 $C$ 同构，其中 $(x^2+1)$ 是 $x^2+1$ 生成的主理想。

作同态 $f(g(x))=g(i)$，它是满同态，$kerf=(x^2+1)$。
求 $n$ 阶二面体群 $(n\geq 2)$ 的中心，什么样的 $n$ 能够使得 $D_n$ 是幂零群？

中心分奇偶讨论，奇数只有 $\lbrace e \rbrace$，偶数还有个 $y^{n/2}$，再讨论 $2$ 的情况，中心就是自身；幂零群当且仅当 $n$ 是 $2$ 的幂次，用上中心列证明就行。

前者作业里做过，后者一看就是个结论但我没见过，我不是废物谁是废物？

总结：废物一个，1.3 走起。

期末提示

期末没有提示，复习的时候注意事项直接手写了，理了好几大张纸。结果期末考上来第一题：

陈述你在这门课中印象最深的一个定理或者结论，并描述它的一个应用或者推论。

给我整蒙了（

总之这一篇完结了！华子的代数还是劲不够大（至少比隔壁的代数学实验班差远了，hx 的劲也没 zmx 大），下学期的两门分析应该会比抽代更痛苦一些。代数的旅途也快到终点了，之后还有一门不是必须要上的拓扑学（因为是基础方向的专业课，但我应该会去上一下），就要说再见了。之后还会用到的基本上都是简单的抽代知识和线性代数了呢w